Resolver {l}{y=-1/2x+1}{y=1/2x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Resta \frac{x}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=-\frac{1}{2}x+1$$

Substitúe y por -\frac{x}{2}+1 na outra ecuación, y-\frac{1}{2}x=-3.

$$-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3$$

Suma -\frac{x}{2} a -\frac{x}{2}.

$$-x+1=-3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=-\frac{1}{2}x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{1}{2}\times 4+1$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 4.

$$y=-2+1$$

Suma 1 a -2.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-1,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y+\frac{1}{2}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3$$

Resta y-\frac{1}{2}x=-3 de y+\frac{1}{2}x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3$$

Suma \frac{x}{2} a \frac{x}{2}.

$$x=1+3$$

Suma 1 a 3.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y-\frac{1}{2}x=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{1}{2}\times 4=-3$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 4.

$$y-2=-3$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=4$$