Resolver {l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=160$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{x}{20} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 20.

$$20y-x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 80+x por \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Resta \frac{1}{30}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$20y-x=0$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$20y=x$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=\frac{1}{20}x$$

Substitúe y por \frac{x}{20} na outra ecuación, y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Suma \frac{x}{20} a -\frac{x}{30}.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

Multiplica ambos lados por 60.

$$x=160$$

Substitúe x por 160 en y=\frac{1}{20}x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

Multiplica \frac{1}{20} por 160.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=160$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{x}{20} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 20.

$$20y-x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 80+x por \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Resta \frac{1}{30}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=8,x=160$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{x}{20} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 20.

$$20y-x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 80+x por \frac{1}{30}.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

Resta \frac{1}{30}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

Para que 20y e y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 20.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

Simplifica.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

Resta 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3} de 20y-x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Suma 20y a -20y. 20y e -20y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Suma -x a \frac{2x}{3}.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$x=160$$

Substitúe x por 160 en y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{30} por 160.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

Suma \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=160$$