Resolver {l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Divide cada termo de x+3 entre 2 para obter \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Suma \frac{3}{2} e 3 para obter \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Substitúe y por \frac{9+x}{2} na outra ecuación, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

Suma \frac{x}{2} a -2x.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Substitúe x por -\frac{11}{3} en y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -\frac{11}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a -\frac{11}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Divide cada termo de x+3 entre 2 para obter \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Suma \frac{3}{2} e 3 para obter \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Divide cada termo de x+3 entre 2 para obter \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

Suma \frac{3}{2} e 3 para obter \frac{9}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

Resta y-2x=10 de y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

Suma -\frac{x}{2} a 2x.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

Suma \frac{9}{2} a -10.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Substitúe x por -\frac{11}{3} en y-2x=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

Multiplica -2 por -\frac{11}{3}.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

Resta \frac{22}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$