Resolver {l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{9}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Suma \frac{x}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Substitúe y por \frac{x}{3}+6 na outra ecuación, y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

Suma \frac{x}{3} a -\frac{x}{9}.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Substitúe x por -\frac{63}{2} en y=\frac{1}{3}x+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Multiplica \frac{1}{3} por -\frac{63}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

Suma 6 a -\frac{21}{2}.

$$y=-\frac{9}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{9}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{9}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Resta y-\frac{1}{9}x=-1 de y-\frac{1}{3}x=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

Suma -\frac{x}{3} a \frac{x}{9}.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

Suma 6 a 1.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{63}{2}$$

Substitúe x por -\frac{63}{2} en y-\frac{1}{9}x=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Multiplica -\frac{1}{9} por -\frac{63}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Resta \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=-\frac{9}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$