Resolver {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{4}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Suma \frac{x}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

Substitúe y por \frac{x}{3}+1 na outra ecuación, y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

Suma \frac{x}{3} a -\frac{4x}{3}.

$$-x+1=-2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en y=\frac{1}{3}x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Multiplica \frac{1}{3} por 3.

$$y=1+1$$

Suma 1 a 1.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=2,x=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{4}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=2,x=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{4}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

Resta y-\frac{4}{3}x=-2 de y-\frac{1}{3}x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

Suma -\frac{x}{3} a \frac{4x}{3}.

$$x=1+2$$

Suma 1 a 2.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en y-\frac{4}{3}x=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

Multiplica -\frac{4}{3} por 3.

$$y-4=-2$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=2,x=3$$