Resolver {l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Suma \frac{x}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

Substitúe y por \frac{x}{2}-4 na outra ecuación, y+\frac{1}{4}x=-1.

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

Suma \frac{x}{2} a \frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{4}x=3$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=\frac{1}{2}x-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

Multiplica \frac{1}{2} por 4.

$$y=2-4$$

Suma -4 a 2.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-2,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Resta y+\frac{1}{4}x=-1 de y-\frac{1}{2}x=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

Suma -\frac{x}{2} a -\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

Suma -4 a 1.

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y+\frac{1}{4}x=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

Multiplica \frac{1}{4} por 4.

$$y+1=-1$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=4$$