Resolver {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Suma \frac{x}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Substitúe y por \frac{x}{2}+1 na outra ecuación, 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

Multiplica 2 por \frac{x}{2}+1.

$$x+2+3x=-2$$

Suma x a 3x.

$$4x+2=-2$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=\frac{1}{2}x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

Multiplica \frac{1}{2} por -1.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

Suma 1 a -\frac{1}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Simplifica.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Resta 2y+3x=-2 de 2y-x=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-3x=2+2$$

Suma -x a -3x.

$$-4x=2+2$$

Suma 2 a 2.

$$-4x=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en 2y+3x=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

Multiplica 3 por -1.

$$2y-3=-2$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$2y=1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$