Resolver {l}{y+x=0}{2y-x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y + x = 0 } \\ { 2 y - x = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+x=0,2y-x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+x=0$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$y=-x$$

Substitúe y por -x na outra ecuación, 2y-x=0.

$$2\left(-1\right)x-x=0$$

Multiplica 2 por -x.

$$-2x-x=0$$

Suma -2x a -x.

$$-3x=0$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y=-x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+x=0,2y-x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=0,x=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+x=0,2y-x=0$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2x=0,2y-x=0$$

Resta 2y-x=0 de 2y+2x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y+2x+x=0$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x+x=0$$

Suma 2x a x.

$$3x=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en 2y-x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=0$$