Resolver {l}{y+4x-6=0}{3x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+4x-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$y+4x=6$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=-4x+6$$

Substitúe y por -4x+6 na outra ecuación, -y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

Multiplica -1 por -4x+6.

$$4x-6+3x=7$$

Suma 4x a 3x.

$$7x-6=7$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$7x=13$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Substitúe x por \frac{13}{7} en y=-4x+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

Multiplica -4 por \frac{13}{7}.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

Suma 6 a -\frac{52}{7}.

$$y=-\frac{10}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Para que y e -y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

Simplifica.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

Resta -y+3x=7 de -y-4x+6=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x-3x+6=-7$$

Suma -4x a -3x.

$$-7x+6=-7$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-7x=-13$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Substitúe x por \frac{13}{7} en -y+3x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

Multiplica 3 por \frac{13}{7}.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

Resta \frac{39}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-y=\frac{10}{7}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-\frac{10}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$