Resolver {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+3x=56$$

Resta 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=-3x+56$$

Substitúe y por -3x+56 na outra ecuación, 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

Multiplica 4 por -3x+56.

$$-12x+224+x=34$$

Suma -12x a x.

$$-11x+224=34$$

Resta 224 en ambos lados da ecuación.

$$-11x=-190$$

Divide ambos lados entre -11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Substitúe x por \frac{190}{11} en y=-3x+56. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

Multiplica -3 por \frac{190}{11}.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

Suma 56 a -\frac{570}{11}.

$$y=\frac{46}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Para que y e 4y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Simplifica.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

Resta 4y+x=34 de 4y+12x=224 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

Suma 4y a -4y. 4y e -4y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12x-x=224-34$$

Suma 12x a -x.

$$11x=224-34$$

Suma 224 a -34.

$$11x=190$$

Divide ambos lados entre 11.

$$x=\frac{190}{11}$$

Substitúe x por \frac{190}{11} en 4y+x=34. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

Resta \frac{190}{11} en ambos lados da ecuación.

$$4y=\frac{184}{11}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{46}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$