Resolver {l}{y+25x=45}{y+.30x=35}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 25 x = 45 } \\ { y + .30 x = 35 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=\frac{100}{247}\approx 0.4048583$$

$$y = \frac{8615}{247} = 34\frac{217}{247} \approx 34.87854251$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+25x=45$$

Resta 25x en ambos lados da ecuación.

$$y=-25x+45$$

Substitúe y por -25x+45 na outra ecuación, y+0.3x=35.

$$-25x+45+0.3x=35$$

Suma -25x a \frac{3x}{10}.

$$-24.7x+45=35$$

Resta 45 en ambos lados da ecuación.

$$-24.7x=-10$$

Divide ambos lados da ecuación entre -24.7, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{100}{247}$$

Substitúe x por \frac{100}{247} en y=-25x+45. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-25\times \frac{100}{247}+45$$

Multiplica -25 por \frac{100}{247}.

$$y=-\frac{2500}{247}+45$$

Suma 45 a -\frac{2500}{247}.

$$y=\frac{8615}{247}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.3}{0.3-25}&-\frac{25}{0.3-25}\\-\frac{1}{0.3-25}&\frac{1}{0.3-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}&\frac{250}{247}\\\frac{10}{247}&-\frac{10}{247}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}\times 45+\frac{250}{247}\times 35\\\frac{10}{247}\times 45-\frac{10}{247}\times 35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8615}{247}\\\frac{100}{247}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Resta y+0.3x=35 de y+25x=45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+25x-0.3x=45-35$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25x-0.3x=45-35$$

Suma 25x a -\frac{3x}{10}.

$$24.7x=45-35$$

Suma 45 a -35.

$$24.7x=10$$

Divide ambos lados da ecuación entre 24.7, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{100}{247}$$

Substitúe x por \frac{100}{247} en y+0.3x=35. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+0.3\times \frac{100}{247}=35$$

Multiplica 0.3 por \frac{100}{247} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y+\frac{30}{247}=35$$

Resta \frac{30}{247} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{8615}{247}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$