Resolver {l}{x-y=4}{y=-x-8}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { y = - x - 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=4,x+y=-8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+4$$

Substitúe x por y+4 na outra ecuación, x+y=-8.

$$y+4+y=-8$$

Suma y a y.

$$2y+4=-8$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6+4$$

Suma 4 a -6.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=4,x+y=-8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\\-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=4,x+y=-8$$

Resta x+y=-8 de x-y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-y-y=4+8$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-y=4+8$$

Suma -y a -y.

$$-2y=4+8$$

Suma 4 a 8.

$$-2y=12$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x+y=-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-6=-8$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-6$$