Resolver {l}{x-y=4}{x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=4,x+3y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+4$$

Substitúe x por y+4 na outra ecuación, x+3y=8.

$$y+4+3y=8$$

Suma y a 3y.

$$4y+4=8$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$4y=4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=1+4$$

Suma 4 a 1.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=4,x+3y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{1}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=4,x+3y=8$$

Resta x+3y=8 de x-y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-y-3y=4-8$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-3y=4-8$$

Suma -y a -3y.

$$-4y=4-8$$

Suma 4 a -8.

$$-4y=-4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x+3y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3=8$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=1$$