Resolver {l}{x-y=4}{2x-5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+4$$

Substitúe x por y+4 na outra ecuación, 2x-5y=2.

$$2\left(y+4\right)-5y=2$$

Multiplica 2 por y+4.

$$2y+8-5y=2$$

Suma 2y a -5y.

$$-3y+8=2$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2+4$$

Suma 4 a 2.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-5-\left(-2\right)}&\frac{1}{-5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=4,2x-5y=2$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 4,2x-5y=2$$

Simplifica.

$$2x-2y=8,2x-5y=2$$

Resta 2x-5y=2 de 2x-2y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-2y+5y=8-2$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+5y=8-2$$

Suma -2y a 5y.

$$3y=8-2$$

Suma 8 a -2.

$$3y=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x-5y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-5\times 2=2$$

Multiplica -5 por 2.

$$2x-10=2$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$2x=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=2$$