Resolver {l}{x-y=3}{2x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+3$$

Substitúe x por y+3 na outra ecuación, 2x+3y=19.

$$2\left(y+3\right)+3y=19$$

Multiplica 2 por y+3.

$$2y+6+3y=19$$

Suma 2y a 3y.

$$5y+6=19$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$5y=13$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{13}{5}$$

Substitúe y por \frac{13}{5} en x=y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{13}{5}+3$$

Suma 3 a \frac{13}{5}.

$$x=\frac{28}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 3,2x+3y=19$$

Simplifica.

$$2x-2y=6,2x+3y=19$$

Resta 2x+3y=19 de 2x-2y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-2y-3y=6-19$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-3y=6-19$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y=6-19$$

Suma 6 a -19.

$$-5y=-13$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{13}{5}$$

Substitúe y por \frac{13}{5} en 2x+3y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\times \frac{13}{5}=19$$

Multiplica 3 por \frac{13}{5}.

$$2x+\frac{39}{5}=19$$

Resta \frac{39}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{56}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{28}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$