Resolver {l}{x-y=24}{x+y=90}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 24 } \\ { x + y = 90 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=57$$

$$y=33$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=24,x+y=90$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=24$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+24$$

Substitúe x por y+24 na outra ecuación, x+y=90.

$$y+24+y=90$$

Suma y a y.

$$2y+24=90$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$2y=66$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=33$$

Substitúe y por 33 en x=y+24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=33+24$$

Suma 24 a 33.

$$x=57$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=57,y=33$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=24,x+y=90$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\90\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\90\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\90\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\90\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\90\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\90\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 24+\frac{1}{2}\times 90\\-\frac{1}{2}\times 24+\frac{1}{2}\times 90\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}57\\33\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=57,y=33$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=24,x+y=90$$

Resta x+y=90 de x-y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-y-y=24-90$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-y=24-90$$

Suma -y a -y.

$$-2y=24-90$$

Suma 24 a -90.

$$-2y=-66$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=33$$

Substitúe y por 33 en x+y=90. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+33=90$$

Resta 33 en ambos lados da ecuación.

$$x=57$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=57,y=33$$