Resolver {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=37$$

$$y=21$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=16$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+16$$

Substitúe x por y+16 na outra ecuación, -x+2y=5.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

Multiplica -1 por y+16.

$$-y-16+2y=5$$

Suma -y a 2y.

$$y-16=5$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$y=21$$

Substitúe y por 21 en x=y+16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=21+16$$

Suma 16 a 21.

$$x=37$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=37,y=21$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=37,y=21$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

Simplifica.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

Resta -x+2y=5 de -x+y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-2y=-16-5$$

Suma y a -2y.

$$-y=-16-5$$

Suma -16 a -5.

$$-y=-21$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=21$$

Substitúe y por 21 en -x+2y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2\times 21=5$$

Multiplica 2 por 21.

$$-x+42=5$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-37$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=37$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=37,y=21$$