Resolver {l}{x-y=-6}{y=-3x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = - 6 } \\ { y = - 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=-6$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y-6$$

Substitúe x por y-6 na outra ecuación, 3x+y=2.

$$3\left(y-6\right)+y=2$$

Multiplica 3 por y-6.

$$3y-18+y=2$$

Suma 3y a y.

$$4y-18=2$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$4y=20$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5-6$$

Suma -6 a 5.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=-6,3x+y=2$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-6\right),3x+y=2$$

Simplifica.

$$3x-3y=-18,3x+y=2$$

Resta 3x+y=2 de 3x-3y=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-3y-y=-18-2$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-y=-18-2$$

Suma -3y a -y.

$$-4y=-18-2$$

Suma -18 a -2.

$$-4y=-20$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 3x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+5=2$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$