Resolver {l}{x-8y=10}{-5x+10y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 y = 10 } \\ { - 5 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-6$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-8y=10$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$x=8y+10$$

Substitúe x por 8y+10 na outra ecuación, -5x+10y=10.

$$-5\left(8y+10\right)+10y=10$$

Multiplica -5 por 8y+10.

$$-40y-50+10y=10$$

Suma -40y a 10y.

$$-30y-50=10$$

Suma 50 en ambos lados da ecuación.

$$-30y=60$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=8y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=8\left(-2\right)+10$$

Multiplica 8 por -2.

$$x=-16+10$$

Suma 10 a -16.

$$x=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-6,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{15}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-6,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

Para que x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-5x-5\left(-8\right)y=-5\times 10,-5x+10y=10$$

Simplifica.

$$-5x+40y=-50,-5x+10y=10$$

Resta -5x+10y=10 de -5x+40y=-50 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x+40y-10y=-50-10$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y-10y=-50-10$$

Suma 40y a -10y.

$$30y=-50-10$$

Suma -50 a -10.

$$30y=-60$$

Divide ambos lados entre 30.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -5x+10y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+10\left(-2\right)=10$$

Multiplica 10 por -2.

$$-5x-20=10$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=30$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-6,y=-2$$