Resolver {l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=14$$

$$y=46$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$5x-30=y-6$$

Resta y en ambos lados.

$$5x-30-y=-6$$

Engadir 30 en ambos lados.

$$5x-y=-6+30$$

Suma -6 e 30 para obter 24.

$$5x-y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+18=y$$

Resta y en ambos lados.

$$2x+18-y=0$$

Resta 18 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x-y=-18$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-y=24$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$5x=y+24$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por y+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

Substitúe x por \frac{24+y}{5} na outra ecuación, 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

Multiplica 2 por \frac{24+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

Suma \frac{2y}{5} a -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

Resta \frac{48}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=46$$

Substitúe y por 46 en x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por 46.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

Suma \frac{24}{5} a \frac{46}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=46$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$5x-30=y-6$$

Resta y en ambos lados.

$$5x-30-y=-6$$

Engadir 30 en ambos lados.

$$5x-y=-6+30$$

Suma -6 e 30 para obter 24.

$$5x-y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+18=y$$

Resta y en ambos lados.

$$2x+18-y=0$$

Resta 18 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x-y=-18$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=14,y=46$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$5x-30=y-6$$

Resta y en ambos lados.

$$5x-30-y=-6$$

Engadir 30 en ambos lados.

$$5x-y=-6+30$$

Suma -6 e 30 para obter 24.

$$5x-y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+18=y$$

Resta y en ambos lados.

$$2x+18-y=0$$

Resta 18 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x-y=-18$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

Resta 2x-y=-18 de 5x-y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x-2x=24+18$$

Suma 5x a -2x.

$$3x=24+18$$

Suma 24 a 18.

$$3x=42$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=14$$

Substitúe x por 14 en 2x-y=-18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\times 14-y=-18$$

Multiplica 2 por 14.

$$28-y=-18$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-46$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=46$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=46$$