Resolver {l}{x-4y=4}{7x-7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 4 } \\ { 7 x - 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-4y=4$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=4y+4$$

Substitúe x por 4+4y na outra ecuación, 7x-7y=-14.

$$7\left(4y+4\right)-7y=-14$$

Multiplica 7 por 4+4y.

$$28y+28-7y=-14$$

Suma 28y a -7y.

$$21y+28=-14$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$21y=-42$$

Divide ambos lados entre 21.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=4y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\left(-2\right)+4$$

Multiplica 4 por -2.

$$x=-8+4$$

Suma 4 a -8.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{21}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{21}\left(-14\right)\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{21}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

Para que x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$7x+7\left(-4\right)y=7\times 4,7x-7y=-14$$

Simplifica.

$$7x-28y=28,7x-7y=-14$$

Resta 7x-7y=-14 de 7x-28y=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x-28y+7y=28+14$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-28y+7y=28+14$$

Suma -28y a 7y.

$$-21y=28+14$$

Suma 28 a 14.

$$-21y=42$$

Divide ambos lados entre -21.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 7x-7y=-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-7\left(-2\right)=-14$$

Multiplica -7 por -2.

$$7x+14=-14$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$7x=-28$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$