Resolver {l}{x-4y=-8}{x-2y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = - 8 } \\ { x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-4y=-8$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=4y-8$$

Substitúe x por -8+4y na outra ecuación, x-2y=-2.

$$4y-8-2y=-2$$

Suma 4y a -2y.

$$2y-8=-2$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$2y=6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=4y-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4\times 3-8$$

Multiplica 4 por 3.

$$x=12-8$$

Suma -8 a 12.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-8\right)+2\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-4y=-8,x-2y=-2$$

Resta x-2y=-2 de x-4y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-4y+2y=-8+2$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+2y=-8+2$$

Suma -4y a 2y.

$$-2y=-8+2$$

Suma -8 a 2.

$$-2y=-6$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x-2y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\times 3=-2$$

Multiplica -2 por 3.

$$x-6=-2$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=3$$