Resolver {l}{x-3y=3}{2x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=3$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y+3$$

Substitúe x por 3+3y na outra ecuación, 2x+3y=6.

$$2\left(3y+3\right)+3y=6$$

Multiplica 2 por 3+3y.

$$6y+6+3y=6$$

Suma 6y a 3y.

$$9y+6=6$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$9y=0$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=3y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\times 3,2x+3y=6$$

Simplifica.

$$2x-6y=6,2x+3y=6$$

Resta 2x+3y=6 de 2x-6y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-6y-3y=6-6$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-3y=6-6$$

Suma -6y a -3y.

$$-9y=6-6$$

Suma 6 a -6.

$$-9y=0$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 2x+3y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=0$$