Resolver {l}{x-3y=1}{2x+5y=90}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 1 } \\ { 2 x + 5 y = 90 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=25$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=1,2x+5y=90$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y+1$$

Substitúe x por 3y+1 na outra ecuación, 2x+5y=90.

$$2\left(3y+1\right)+5y=90$$

Multiplica 2 por 3y+1.

$$6y+2+5y=90$$

Suma 6y a 5y.

$$11y+2=90$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$11y=88$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=3y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times 8+1$$

Multiplica 3 por 8.

$$x=24+1$$

Suma 1 a 24.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=1,2x+5y=90$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\90\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\90\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\90\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\90\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\90\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\90\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}+\frac{3}{11}\times 90\\-\frac{2}{11}+\frac{1}{11}\times 90\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=25,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=1,2x+5y=90$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-3\right)y=2,2x+5y=90$$

Simplifica.

$$2x-6y=2,2x+5y=90$$

Resta 2x+5y=90 de 2x-6y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-6y-5y=2-90$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-5y=2-90$$

Suma -6y a -5y.

$$-11y=2-90$$

Suma 2 a -90.

$$-11y=-88$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en 2x+5y=90. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+5\times 8=90$$

Multiplica 5 por 8.

$$2x+40=90$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$2x=50$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25,y=8$$