Resolver {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$37-3x-y=0$$

Resta 37 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-3x-y=-37$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+3$$

Substitúe x por y+3 na outra ecuación, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Multiplica -3 por y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Suma -3y a -y.

$$-4y-9=-37$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-28$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=7+3$$

Suma 3 a 7.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=7$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$37-3x-y=0$$

Resta 37 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-3x-y=-37$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$37-3x-y=0$$

Resta 37 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-3x-y=-37$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Resta -3x-y=-37 de x-y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+3x=3+37$$

Suma x a 3x.

$$4x=3+37$$

Suma 3 a 37.

$$4x=40$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en -3x-y=-37. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3\times 10-y=-37$$

Multiplica -3 por 10.

$$-30-y=-37$$

Suma 30 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=7$$