Resolver {l}{x-2y=1}{x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = 1 } \\ { x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=1,x+2y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=1$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y+1$$

Substitúe x por 2y+1 na outra ecuación, x+2y=3.

$$2y+1+2y=3$$

Suma 2y a 2y.

$$4y+1=3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4y=2$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en x=2y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times \frac{1}{2}+1$$

Multiplica 2 por \frac{1}{2}.

$$x=1+1$$

Suma 1 a 1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=1,x+2y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=1,x+2y=3$$

Resta x+2y=3 de x-2y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-2y-2y=1-3$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-2y=1-3$$

Suma -2y a -2y.

$$-4y=1-3$$

Suma 1 a -3.

$$-4y=-2$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Substitúe y por \frac{1}{2} en x+2y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times \frac{1}{2}=3$$

Multiplica 2 por \frac{1}{2}.

$$x+1=3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$