Resolver {l}{x-2y=-11}{3x+7y=32}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 11 } \\ { 3 x + 7 y = 32 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=-11$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y-11$$

Substitúe x por 2y-11 na outra ecuación, 3x+7y=32.

$$3\left(2y-11\right)+7y=32$$

Multiplica 3 por 2y-11.

$$6y-33+7y=32$$

Suma 6y a 7y.

$$13y-33=32$$

Suma 33 en ambos lados da ecuación.

$$13y=65$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=2y-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times 5-11$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=10-11$$

Suma -11 a 10.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\left(-11\right)+\frac{2}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-11\right)+\frac{1}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-11\right),3x+7y=32$$

Simplifica.

$$3x-6y=-33,3x+7y=32$$

Resta 3x+7y=32 de 3x-6y=-33 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-6y-7y=-33-32$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-7y=-33-32$$

Suma -6y a -7y.

$$-13y=-33-32$$

Suma -33 a -32.

$$-13y=-65$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 3x+7y=32. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+7\times 5=32$$

Multiplica 7 por 5.

$$3x+35=32$$

Resta 35 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=5$$