Resolver {l}{x-10y=-14}{-5x-8y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 10 y = - 14 } \\ { - 5 x - 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-10y=-14$$

Suma 10y en ambos lados da ecuación.

$$x=10y-14$$

Substitúe x por 10y-14 na outra ecuación, -5x-8y=12.

$$-5\left(10y-14\right)-8y=12$$

Multiplica -5 por 10y-14.

$$-50y+70-8y=12$$

Suma -50y a -8y.

$$-58y+70=12$$

Resta 70 en ambos lados da ecuación.

$$-58y=-58$$

Divide ambos lados entre -58.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=10y-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=10-14$$

Suma -14 a 10.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&-\frac{-10}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&-\frac{5}{29}\\-\frac{5}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\left(-14\right)-\frac{5}{29}\times 12\\-\frac{5}{58}\left(-14\right)-\frac{1}{58}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

Para que x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-5x-5\left(-10\right)y=-5\left(-14\right),-5x-8y=12$$

Simplifica.

$$-5x+50y=70,-5x-8y=12$$

Resta -5x-8y=12 de -5x+50y=70 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x+50y+8y=70-12$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$50y+8y=70-12$$

Suma 50y a 8y.

$$58y=70-12$$

Suma 70 a -12.

$$58y=58$$

Divide ambos lados entre 58.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -5x-8y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x-8=12$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=1$$