Resolver {l}{x=7y+135}{y=4x}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 7 y + 135 } \\ { y = 4 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=-20$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7y en ambos lados.

$$x-7y=135$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-7y=135$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$x=7y+135$$

Substitúe x por 7y+135 na outra ecuación, -4x+y=0.

$$-4\left(7y+135\right)+y=0$$

Multiplica -4 por 7y+135.

$$-28y-540+y=0$$

Suma -28y a y.

$$-27y-540=0$$

Suma 540 en ambos lados da ecuación.

$$-27y=540$$

Divide ambos lados entre -27.

$$y=-20$$

Substitúe y por -20 en x=7y+135. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=7\left(-20\right)+135$$

Multiplica 7 por -20.

$$x=-140+135$$

Suma 135 a -140.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-20$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7y en ambos lados.

$$x-7y=135$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&-\frac{-7}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&-\frac{7}{27}\\-\frac{4}{27}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 135\\-\frac{4}{27}\times 135\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=-20$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7y en ambos lados.

$$x-7y=135$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Para que x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-4x-4\left(-7\right)y=-4\times 135,-4x+y=0$$

Simplifica.

$$-4x+28y=-540,-4x+y=0$$

Resta -4x+y=0 de -4x+28y=-540 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+28y-y=-540$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$28y-y=-540$$

Suma 28y a -y.

$$27y=-540$$

Divide ambos lados entre 27.

$$y=-20$$

Substitúe y por -20 en -4x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x-20=0$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=20$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-20$$