Resolver {l}{x=2y+1}{7x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 2 y + 1 } \\ { 7 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=1$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y+1$$

Substitúe x por 2y+1 na outra ecuación, 7x-2y=1.

$$7\left(2y+1\right)-2y=1$$

Multiplica 7 por 2y+1.

$$14y+7-2y=1$$

Suma 14y a -2y.

$$12y+7=1$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$12y=-6$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Substitúe y por -\frac{1}{2} en x=2y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

Multiplica 2 por -\frac{1}{2}.

$$x=-1+1$$

Suma 1 a -1.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{1}{-2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+1}{6}\\\frac{-7+1}{12}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

Resta 7x-2y=1 de x-2y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-7x-2y+2y=1-1$$

Suma -2y a 2y. -2y e 2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-7x=1-1$$

Suma x a -7x.

$$-6x=1-1$$

Suma 1 a -1.

$$-6x=0$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en 7x-2y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-2y=1$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$