Resolver {l}{x=y/3}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x = \frac { y } { 3 } } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{y}{3} en ambos lados.

$$x-\frac{y}{3}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3x-y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=0,-2x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=0$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}y$$

Substitúe x por \frac{y}{3} na outra ecuación, -2x+y=0.

$$-2\times \frac{1}{3}y+y=0$$

Multiplica -2 por \frac{y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+y=0$$

Suma -\frac{2y}{3} a y.

$$\frac{1}{3}y=0$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{1}{3}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{y}{3} en ambos lados.

$$x-\frac{y}{3}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3x-y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=0,-2x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{y}{3} en ambos lados.

$$x-\frac{y}{3}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3x-y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=0,-2x+y=0$$

Para que 3x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-2\times 3x-2\left(-1\right)y=0,3\left(-2\right)x+3y=0$$

Simplifica.

$$-6x+2y=0,-6x+3y=0$$

Resta -6x+3y=0 de -6x+2y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x+2y-3y=0$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-3y=0$$

Suma 2y a -3y.

$$-y=0$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en -2x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x=0$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=0$$