Resolver {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+36-3y=0$$

Resta 36 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-36$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=90$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+90$$

Substitúe x por -y+90 na outra ecuación, x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Suma -y a -3y.

$$-4y+90=-36$$

Resta 90 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-126$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Substitúe y por \frac{63}{2} en x=-y+90. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Suma 90 a -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+36-3y=0$$

Resta 36 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-36$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x+36-3y=0$$

Resta 36 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-3y=-36$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Resta x-3y=-36 de x+y=90 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+3y=90+36$$

Suma y a 3y.

$$4y=90+36$$

Suma 90 a 36.

$$4y=126$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Substitúe y por \frac{63}{2} en x-3y=-36. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Multiplica -3 por \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Suma \frac{189}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{117}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$