Resolver {l}{x+y=9}{3x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+9$$

Substitúe x por -y+9 na outra ecuación, 3x+y=2.

$$3\left(-y+9\right)+y=2$$

Multiplica 3 por -y+9.

$$-3y+27+y=2$$

Suma -3y a y.

$$-2y+27=2$$

Resta 27 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-25$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=\frac{25}{2}$$

Substitúe y por \frac{25}{2} en x=-y+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{25}{2}+9$$

Suma 9 a -\frac{25}{2}.

$$x=-\frac{7}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Resta 3x+y=2 de x+y=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-3x+y-y=9-2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-3x=9-2$$

Suma x a -3x.

$$-2x=9-2$$

Suma 9 a -2.

$$-2x=7$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Substitúe x por -\frac{7}{2} en 3x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\left(-\frac{7}{2}\right)+y=2$$

Multiplica 3 por -\frac{7}{2}.

$$-\frac{21}{2}+y=2$$

Suma \frac{21}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{25}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$