Resolver {l}{x+y=8}{y=3x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+8$$

Substitúe x por -y+8 na outra ecuación, -3x+y=0.

$$-3\left(-y+8\right)+y=0$$

Multiplica -3 por -y+8.

$$3y-24+y=0$$

Suma 3y a y.

$$4y-24=0$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$4y=24$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6+8$$

Suma 8 a -6.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8\\\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

Resta -3x+y=0 de x+y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x+3x+y-y=8$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+3x=8$$

Suma x a 3x.

$$4x=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en -3x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3\times 2+y=0$$

Multiplica -3 por 2.

$$-6+y=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=6$$