Resolver {l}{x+y=8}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+8$$

Substitúe x por -y+8 na outra ecuación, -x+2y=1.

$$-\left(-y+8\right)+2y=1$$

Multiplica -1 por -y+8.

$$y-8+2y=1$$

Suma y a 2y.

$$3y-8=1$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$3y=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+8$$

Suma 8 a -3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 8-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-y=-8,-x+2y=1$$

Resta -x+2y=1 de -x-y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x-y-2y=-8-1$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-2y=-8-1$$

Suma -y a -2y.

$$-3y=-8-1$$

Suma -8 a -1.

$$-3y=-9$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en -x+2y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+2\times 3=1$$

Multiplica 2 por 3.

$$-x+6=1$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=3$$