Resolver {l}{x+y=78}{2x+4y=200}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 78 } \\ { 2 x + 4 y = 200 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=56$$

$$y=22$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=78$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+78$$

Substitúe x por -y+78 na outra ecuación, 2x+4y=200.

$$2\left(-y+78\right)+4y=200$$

Multiplica 2 por -y+78.

$$-2y+156+4y=200$$

Suma -2y a 4y.

$$2y+156=200$$

Resta 156 en ambos lados da ecuación.

$$2y=44$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=22$$

Substitúe y por 22 en x=-y+78. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-22+78$$

Suma 78 a -22.

$$x=56$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=56,y=22$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 78-\frac{1}{2}\times 200\\-78+\frac{1}{2}\times 200\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\22\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=56,y=22$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 78,2x+4y=200$$

Simplifica.

$$2x+2y=156,2x+4y=200$$

Resta 2x+4y=200 de 2x+2y=156 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y-4y=156-200$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-4y=156-200$$

Suma 2y a -4y.

$$-2y=156-200$$

Suma 156 a -200.

$$-2y=-44$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=22$$

Substitúe y por 22 en 2x+4y=200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times 22=200$$

Multiplica 4 por 22.

$$2x+88=200$$

Resta 88 en ambos lados da ecuación.

$$2x=112$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=56$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=56,y=22$$