Resolver {l}{x+y=74}{40x+60y=3660}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=39$$

$$y=35$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=74$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+74$$

Substitúe x por -y+74 na outra ecuación, 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

Multiplica 40 por -y+74.

$$-40y+2960+60y=3660$$

Suma -40y a 60y.

$$20y+2960=3660$$

Resta 2960 en ambos lados da ecuación.

$$20y=700$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=35$$

Substitúe y por 35 en x=-y+74. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-35+74$$

Suma 74 a -35.

$$x=39$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=39,y=35$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=39,y=35$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Para que x e 40x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 40 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Simplifica.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Resta 40x+60y=3660 de 40x+40y=2960 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

Suma 40x a -40x. 40x e -40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y-60y=2960-3660$$

Suma 40y a -60y.

$$-20y=2960-3660$$

Suma 2960 a -3660.

$$-20y=-700$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=35$$

Substitúe y por 35 en 40x+60y=3660. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$40x+60\times 35=3660$$

Multiplica 60 por 35.

$$40x+2100=3660$$

Resta 2100 en ambos lados da ecuación.

$$40x=1560$$

Divide ambos lados entre 40.

$$x=39$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=39,y=35$$