Resolver {l}{x+y=72}{x=63y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 72 } \\ { x = 63 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{567}{8} = 70\frac{7}{8} = 70.875$$

$$y = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 63y en ambos lados.

$$x-63y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=72$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+72$$

Substitúe x por -y+72 na outra ecuación, x-63y=0.

$$-y+72-63y=0$$

Suma -y a -63y.

$$-64y+72=0$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$-64y=-72$$

Divide ambos lados entre -64.

$$y=\frac{9}{8}$$

Substitúe y por \frac{9}{8} en x=-y+72. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{8}+72$$

Suma 72 a -\frac{9}{8}.

$$x=\frac{567}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 63y en ambos lados.

$$x-63y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{63}{-63-1}&-\frac{1}{-63-1}\\-\frac{1}{-63-1}&\frac{1}{-63-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{1}{64}&-\frac{1}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}\times 72\\\frac{1}{64}\times 72\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{567}{8}\\\frac{9}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 63y en ambos lados.

$$x-63y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=72,x-63y=0$$

Resta x-63y=0 de x+y=72 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+63y=72$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+63y=72$$

Suma y a 63y.

$$64y=72$$

Divide ambos lados entre 64.

$$y=\frac{9}{8}$$

Substitúe y por \frac{9}{8} en x-63y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-63\times \frac{9}{8}=0$$

Multiplica -63 por \frac{9}{8}.

$$x-\frac{567}{8}=0$$

Suma \frac{567}{8} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{567}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$