Resolver {l}{x+y=70}{70x+50y=4400}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 70 } \\ { 70 x + 50 y = 4400 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=45$$

$$y=25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=70,70x+50y=4400$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=70$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+70$$

Substitúe x por -y+70 na outra ecuación, 70x+50y=4400.

$$70\left(-y+70\right)+50y=4400$$

Multiplica 70 por -y+70.

$$-70y+4900+50y=4400$$

Suma -70y a 50y.

$$-20y+4900=4400$$

Resta 4900 en ambos lados da ecuación.

$$-20y=-500$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=25$$

Substitúe y por 25 en x=-y+70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-25+70$$

Suma 70 a -25.

$$x=45$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=45,y=25$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=70,70x+50y=4400$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\70&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-70}&-\frac{1}{50-70}\\-\frac{70}{50-70}&\frac{1}{50-70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{1}{20}\\\frac{7}{2}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}70\\4400\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 70+\frac{1}{20}\times 4400\\\frac{7}{2}\times 70-\frac{1}{20}\times 4400\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\25\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=45,y=25$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=70,70x+50y=4400$$

Para que x e 70x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 70 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$70x+70y=70\times 70,70x+50y=4400$$

Simplifica.

$$70x+70y=4900,70x+50y=4400$$

Resta 70x+50y=4400 de 70x+70y=4900 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$70x-70x+70y-50y=4900-4400$$

Suma 70x a -70x. 70x e -70x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$70y-50y=4900-4400$$

Suma 70y a -50y.

$$20y=4900-4400$$

Suma 4900 a -4400.

$$20y=500$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=25$$

Substitúe y por 25 en 70x+50y=4400. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$70x+50\times 25=4400$$

Multiplica 50 por 25.

$$70x+1250=4400$$

Resta 1250 en ambos lados da ecuación.

$$70x=3150$$

Divide ambos lados entre 70.

$$x=45$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=45,y=25$$