Resolver {l}{x+y=7}{5x+12y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 5 x + 12 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=11$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=7$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+7$$

Substitúe x por -y+7 na outra ecuación, 5x+12y=7.

$$5\left(-y+7\right)+12y=7$$

Multiplica 5 por -y+7.

$$-5y+35+12y=7$$

Suma -5y a 12y.

$$7y+35=7$$

Resta 35 en ambos lados da ecuación.

$$7y=-28$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-4\right)+7$$

Multiplica -1 por -4.

$$x=4+7$$

Suma 7 a 4.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5}&-\frac{1}{12-5}\\-\frac{5}{12-5}&\frac{1}{12-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{5}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=11,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Para que x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5x+5y=5\times 7,5x+12y=7$$

Simplifica.

$$5x+5y=35,5x+12y=7$$

Resta 5x+12y=7 de 5x+5y=35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+5y-12y=35-7$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-12y=35-7$$

Suma 5y a -12y.

$$-7y=35-7$$

Suma 35 a -7.

$$-7y=28$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 5x+12y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+12\left(-4\right)=7$$

Multiplica 12 por -4.

$$5x-48=7$$

Suma 48 en ambos lados da ecuación.

$$5x=55$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=-4$$