Resolver {l}{x+y=69}{2x+y=81}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 81 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=12$$

$$y=57$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=69,2x+y=81$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=69$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+69$$

Substitúe x por -y+69 na outra ecuación, 2x+y=81.

$$2\left(-y+69\right)+y=81$$

Multiplica 2 por -y+69.

$$-2y+138+y=81$$

Suma -2y a y.

$$-y+138=81$$

Resta 138 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-57$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=57$$

Substitúe y por 57 en x=-y+69. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-57+69$$

Suma 69 a -57.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=57$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=69,2x+y=81$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+81\\2\times 69-81\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\57\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=12,y=57$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=69,2x+y=81$$

Resta 2x+y=81 de x+y=69 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-2x+y-y=69-81$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-2x=69-81$$

Suma x a -2x.

$$-x=69-81$$

Suma 69 a -81.

$$-x=-12$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=12$$

Substitúe x por 12 en 2x+y=81. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\times 12+y=81$$

Multiplica 2 por 12.

$$24+y=81$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$y=57$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=57$$