Resolver {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=500$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+500$$

Substitúe x por -y+500 na outra ecuación, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Multiplica 25 por -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Suma -25y a 35y.

$$10y+12500=1450$$

Resta 12500 en ambos lados da ecuación.

$$10y=-11050$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-1105$$

Substitúe y por -1105 en x=-y+500. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Multiplica -1 por -1105.

$$x=1105+500$$

Suma 500 a 1105.

$$x=1605$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1605,y=-1105$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1605,y=-1105$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Para que x e 25x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 25 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Simplifica.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Resta 25x+35y=1450 de 25x+25y=12500 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Suma 25x a -25x. 25x e -25x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25y-35y=12500-1450$$

Suma 25y a -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Suma 12500 a -1450.

$$-10y=11050$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-1105$$

Substitúe y por -1105 en 25x+35y=1450. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Multiplica 35 por -1105.

$$25x-38675=1450$$

Suma 38675 en ambos lados da ecuación.

$$25x=40125$$

Divide ambos lados entre 25.

$$x=1605$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1605,y=-1105$$