Resolver {l}{x+y=50}{x=9y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { x = 9 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=45$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9y en ambos lados.

$$x-9y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=50,x-9y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=50$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+50$$

Substitúe x por -y+50 na outra ecuación, x-9y=0.

$$-y+50-9y=0$$

Suma -y a -9y.

$$-10y+50=0$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$-10y=-50$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-y+50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5+50$$

Suma 50 a -5.

$$x=45$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=45,y=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9y en ambos lados.

$$x-9y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=50,x-9y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-9-1}&-\frac{1}{-9-1}\\-\frac{1}{-9-1}&\frac{1}{-9-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\times 50\\\frac{1}{10}\times 50\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=45,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 9y en ambos lados.

$$x-9y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=50,x-9y=0$$

Resta x-9y=0 de x+y=50 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+9y=50$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+9y=50$$

Suma y a 9y.

$$10y=50$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x-9y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-9\times 5=0$$

Multiplica -9 por 5.

$$x-45=0$$

Suma 45 en ambos lados da ecuación.

$$x=45$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=45,y=5$$