Resolver {l}{x+y=5}{2x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 2 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{33}{5} = 6\frac{3}{5} = 6.6$$

$$y = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=5$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+5$$

Substitúe x por -y+5 na outra ecuación, 2x+7y=2.

$$2\left(-y+5\right)+7y=2$$

Multiplica 2 por -y+5.

$$-2y+10+7y=2$$

Suma -2y a 7y.

$$5y+10=2$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$5y=-8$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-\frac{8}{5}$$

Substitúe y por -\frac{8}{5} en x=-y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-\frac{8}{5}\right)+5$$

Multiplica -1 por -\frac{8}{5}.

$$x=\frac{8}{5}+5$$

Suma 5 a \frac{8}{5}.

$$x=\frac{33}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-2}&-\frac{1}{7-2}\\-\frac{2}{7-2}&\frac{1}{7-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=5,2x+7y=2$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 5,2x+7y=2$$

Simplifica.

$$2x+2y=10,2x+7y=2$$

Resta 2x+7y=2 de 2x+2y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y-7y=10-2$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-7y=10-2$$

Suma 2y a -7y.

$$-5y=10-2$$

Suma 10 a -2.

$$-5y=8$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{8}{5}$$

Substitúe y por -\frac{8}{5} en 2x+7y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+7\left(-\frac{8}{5}\right)=2$$

Multiplica 7 por -\frac{8}{5}.

$$2x-\frac{56}{5}=2$$

Suma \frac{56}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{66}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{33}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{33}{5},y=-\frac{8}{5}$$