Resolver {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=250$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+250$$

Substitúe x por -y+250 na outra ecuación, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

Multiplica \frac{1}{19} por -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

Suma -\frac{y}{19} a \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

Resta \frac{250}{19} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{190}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{370}{3}$$

Substitúe y por \frac{370}{3} en x=-y+250. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

Suma 250 a -\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Para que x e \frac{x}{19} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{19} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Simplifica.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Resta \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 de \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Suma \frac{x}{19} a -\frac{x}{19}. \frac{x}{19} e -\frac{x}{19} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Suma \frac{y}{19} a -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

Suma \frac{250}{19} a -19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{190}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{370}{3}$$

Substitúe y por \frac{370}{3} en \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

Multiplica \frac{1}{10} por \frac{370}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

Resta \frac{37}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

Multiplica ambos lados por 19.

$$x=\frac{380}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$