Resolver {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=80$$

$$y=160$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=240$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+240$$

Substitúe x por -y+240 na outra ecuación, 0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

Multiplica 0.12 por -y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

Suma -\frac{3y}{25} a \frac{3y}{50}.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

Resta 28.8 en ambos lados da ecuación.

$$-0.06y=-9.6$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.06, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=160$$

Substitúe y por 160 en x=-y+240. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-160+240$$

Suma 240 a -160.

$$x=80$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=80,y=160$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=80,y=160$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Para que x e \frac{3x}{25} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.12 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

Simplifica.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

Resta 0.12x+0.06y=19.2 de 0.12x+0.12y=28.8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Suma \frac{3x}{25} a -\frac{3x}{25}. \frac{3x}{25} e -\frac{3x}{25} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Suma \frac{3y}{25} a -\frac{3y}{50}.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Suma 28.8 a -19.2 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.06y=9.6$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.06, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=160$$

Substitúe y por 160 en 0.12x+0.06y=19.2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

Multiplica 0.06 por 160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

Resta 9.6 en ambos lados da ecuación.

$$0.12x=9.6$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.12, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=80$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=80,y=160$$