Resolver {l}{x+y=200}{x+1/2y=160}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } y = 160 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=120$$

$$y=80$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=200$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+200$$

Substitúe x por -y+200 na outra ecuación, x+\frac{1}{2}y=160.

$$-y+200+\frac{1}{2}y=160$$

Suma -y a \frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+200=160$$

Resta 200 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=-40$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=80$$

Substitúe y por 80 en x=-y+200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-80+200$$

Suma 200 a -80.

$$x=120$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=120,y=80$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-200+2\times 160\\2\times 200-2\times 160\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\80\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=120,y=80$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Resta x+\frac{1}{2}y=160 de x+y=200 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Suma y a -\frac{y}{2}.

$$\frac{1}{2}y=200-160$$

Suma 200 a -160.

$$\frac{1}{2}y=40$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=80$$

Substitúe y por 80 en x+\frac{1}{2}y=160. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\frac{1}{2}\times 80=160$$

Multiplica \frac{1}{2} por 80.

$$x+40=160$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$x=120$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=120,y=80$$