Resolver {l}{x+y=2}{x+1/2=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=2$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+2$$

Substitúe x por -y+2 na outra ecuación, x-y=-\frac{1}{2}.

$$-y+2-y=-\frac{1}{2}$$

Suma -y a -y.

$$-2y+2=-\frac{1}{2}$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Substitúe y por \frac{5}{4} en x=-y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}+2$$

Suma 2 a -\frac{5}{4}.

$$x=\frac{3}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Resta x-y=-\frac{1}{2} de x+y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+y=2+\frac{1}{2}$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+y=2+\frac{1}{2}$$

Suma y a y.

$$2y=2+\frac{1}{2}$$

Suma 2 a \frac{1}{2}.

$$2y=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Substitúe y por \frac{5}{4} en x-y=-\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}$$

Suma \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$