Resolver {l}{x+y=144}{10x+8y=1192}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=20$$

$$y=124$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=144$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+144$$

Substitúe x por -y+144 na outra ecuación, 10x+8y=1192.

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

Multiplica 10 por -y+144.

$$-10y+1440+8y=1192$$

Suma -10y a 8y.

$$-2y+1440=1192$$

Resta 1440 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-248$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=124$$

Substitúe y por 124 en x=-y+144. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-124+144$$

Suma 144 a -124.

$$x=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=20,y=124$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=20,y=124$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Para que x e 10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

Simplifica.

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

Resta 10x+8y=1192 de 10x+10y=1440 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-8y=1440-1192$$

Suma 10y a -8y.

$$2y=1440-1192$$

Suma 1440 a -1192.

$$2y=248$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=124$$

Substitúe y por 124 en 10x+8y=1192. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$10x+8\times 124=1192$$

Multiplica 8 por 124.

$$10x+992=1192$$

Resta 992 en ambos lados da ecuación.

$$10x=200$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=20,y=124$$