Resolver {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=130$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+130$$

Substitúe x por -y+130 na outra ecuación, 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

Multiplica 20 por -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

Suma -20y a 5y.

$$-15y+2600=1925$$

Resta 2600 en ambos lados da ecuación.

$$-15y=-675$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=45$$

Substitúe y por 45 en x=-y+130. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-45+130$$

Suma 130 a -45.

$$x=85$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=85,y=45$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=85,y=45$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Para que x e 20x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 20 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

Simplifica.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

Resta 20x+5y=1925 de 20x+20y=2600 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-5y=2600-1925$$

Suma 20y a -5y.

$$15y=2600-1925$$

Suma 2600 a -1925.

$$15y=675$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=45$$

Substitúe y por 45 en 20x+5y=1925. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$20x+5\times 45=1925$$

Multiplica 5 por 45.

$$20x+225=1925$$

Resta 225 en ambos lados da ecuación.

$$20x=1700$$

Divide ambos lados entre 20.

$$x=85$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=85,y=45$$